Recep Duman Proje Görevi
YASTAYIZ

VEKTÖRLER

Başlangıç ve bitiş noktası olan doğru parçasına vektör denir.

Vektörler, geometrik olarak, bitiş noktasının ucuna bir ok koyularak belirtilirler.

Vektörde başlangıç noktasından bitiş noktasına doğru olan yörüngeye vektörün yönü denir.

Bir vektörün bulunduğu doğru parçasına vektörün doğrultusu denir.

vektör

Yukarıda başlangıç noktası A ve bitiş noktası B olan bir vektör gösterilmiştir. Bu vektörün doğrultusu kırmızı kesik çizgilerle belirtilmiştir.

Bir vektör isimlendirilirken önce başlangıç, sonra bitiş noktası yazılır ve bunların üzerlerine sağa doğru bir ok çizilir. Örneğin yukarıdaki vektör,

vektörlerin isimlendirilmesi

şeklinde isimlendirilir.

Vektörler, yukarıdaki örnekteki gibi, üzerinde sağa doğru ok olan tek bir harf ile de isimlendirilebilirler.

Bir vektörün uzunluğu veya vektörün normu, vektörün isminin iki tarafına '||' işaretleri koyularak gösterilir. Örneğin yukarıdaki vektörün uzunluğu,

vektörün uzunluğu

ile gösterilir.

-) Yönü ve uzunluğu aynı olan vektörlere eş vektörler denir.

-) Doğrultusu ve uzunluğu aynı, yönleri farklı vektörlere ters vektörler denir.

ters vektörler

-) Başlangıç ve bitiş noktası aynı olan vektöre sıfır vektörü denir. (Sıfır vektörü, sıfır sayısı değildir!)

-) Sıfır vektörünün, başlangıç ve bitiş noktası aynı olduğundan, uzunluğu sıfırdır.

-) Sıfır vektörü,

sıfır vektörü

şeklinde gösterilir.

VEKTÖRLERDE TOPLAMA

PARALELKENAR YÖNTEMİ

İki vektörün başlangıç noktaları aynı yere getirilir. Bu iki vektörü iki kenarı gibi gören paralelkenar çizilir. İki vektörün başlangıç noktasından paralelkenarın köşegeni olacak biçimde çizilen vektör, bu iki vektörün toplamıdır.

paralelkenar yöntemiyle vektör toplama

Yukarıdaki şekilde u ve v vektörlerinin toplamı w vektörüdür.

Paralelkenar yöntemi aynı doğrultudaki vektörlere uygulanamaz.

UÇ UCA EKLEME YÖNTEMİ

Verilen iki vektörden birinci vektörün sonu ile ikinci vektörün başı aynı yere getirilir. Birinci vektörün başından ikinci vektörün sonuna çizilen vektör iki vektörün toplamıdır.

uç uca ekleme yöntemiyle vektörlerin toplamı

Yukarıdaki u ve v vektörleri uç uca eklenerek u ve v'nin toplamı olan w vektörü elde edilmiştir.

Vektörlerde toplama işlemi yapmaya yarayan bu iki yöntemi dinamik ve etkileşimli olarak incelemek için bu animasyona bakınız.

İkiden fazla vektör söz konusu olduğunda bu yönteme çokgen yöntemi de denir.

İKİ VEKTÖRÜN FARKI

u ve v gibi verilen iki vektörün u - v farkını bulmak için, v vektörünün ters vektörü ile u vektörü toplanır.

Bir vektörün tersi, o vektörün -1 sayısıyla çarpımıdır. Dolayısıyla,

vektörlerin farkı

eşitliği geçerlidir.

VEKTÖRÜN KATI

Bir vektörün, r gibi bir reel sayıyla çarpımı, o vektörün r katıdır.

VEKTÖRÜN SAYIYLA ÇARPIMI

Bir vektörün r gibi bir reel sayıyla çarpımı sonunda vektörün, doğrultusu değişmezken uzunluğu r katına çıkar. Vektörün yönü ise eğer; r pozitifse değişmez, r negatifse değişir.

vektörün katı

Bir vektörün sıfır ile çarpımı sıfır vektörünü verir.

KOORDİNAT DÜZLEMİNDE VEKTÖRLER

Başlangıç noktası orjin, bitiş noktası (a,b) olan vektör, (a,b) veya <a,b> olarak gösterilir. Aşağıda böyle bir vektör gösterilmiştir.

Bu vektörün uzunluğu Pisagor bağıntısından,

konum vektörünün uzunluğu

olarak bulunur. a ve b sayılarına bileşen adı verilir.

Her vektörün başlangıç noktası orjinde olmak zorunda değildir. Başlangıç noktası orjin dışında olan u gibi bir vektörün, başlangıç noktası orjinde olan bir eş vektörü çizilebilir. Bu eş vektöre, u vektörünün, konum vektörü veya yer vektörü adı verilir.

konum vektörü

Yukarıda kırmızı ile gösterilen vektör, u vektörünün konum vektörüdür.

-) Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan vektörler birbirlerine eşittir. (Eşit vektör ile eş vektör kavramları birbirlerinden farklı kavramlardır!)

-) Uzunluğu 1 olan vektöre birim vektör denir.

-) e1 = (1,0) ve e2 = (0,1) vektörlerine; taban birim vektörler, standart birim vektörler veya baz birim vektörler adı verilir.

-) Başlangıç noktası (x0,y0), bitiş noktası (x1,y1) olan vektörün uzunluğu, iki noktanın birbirine uzaklığı formülünden,

vektörün uzunluğu

olarak bulunur.

-) Başlangıç noktası (x0,y0), bitiş noktası (x1,y1) olan vektörün konum vektörü (x1-x0 , y1-y0)'dır.

-) (x0,y0) ve (x1,y1) gibi verilen iki vektörün toplamı, (x0+x1 , y0+y1)'dir.

-) r reel sayısı ile (x,y) vektörünün çarpımı, r.(x,y) = (r.x,r.y)'dir.

-) u, v, w vektörleri ve x, y reel sayıları için,

lineer kombinasyon

ise, w vektörüne, u ve v vektörlerinin, lineer kombinasyonu veya lineer birleşimi denir.

-) Her vektör, taban birim vektörlerinin lineer kombinasyonu biçiminde yazılabilir. (a,b) vektörü,

taban birim vektörleri

şeklinde yazılabilir.

-) u ve v, iki vektör olsunlar.

lineer bağımlılık

eşitliğini sağlayan, en az biri sıfırdan farklı a ve b reel sayıları varsa, u ve v vektörlerine lineer bağımlı veya doğrusal bağımlı vektörler denir. Aksi halde u ve v vektörlerine lineer bağımsız veya doğrusal bağımsız vektörler denir. Bu tanım ikiden fazla vektör için de geçerlidir.

-) Sıfır vektörü her vektörle lineer bağımlıdır.

-) Herhangi üç vektör birbirleriye lineer bağımlıdır.

-) u ve v vektörleri lineer bağımsız olsunlar. Bu durumda her vektör u ve v'nin bir lineer kombinasyonu biçiminde yazılabilir. Bu sebeple u ve v vektörlerine, bütün vektörler kümesinin tabanı veya bazı denir.

SKALER ÇARPIM

u = (x0,y0) ve v = (x1,y1) vektörlerinin skaler çarpımı, iç çarpımı veya noktasal çarpımı bir reel sayıdır ve aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

skaler çarpım

Skaler çarpım; iki vektörün, uzunlukları ve aralarındaki açının kosinüsünün çarpımıdır. Yani u ve v vektörleri arasındaki açı α olmak üzere,

iki vektör arasındaki açı

eşitliği gerçeklenir. Buradan aşağıdaki sonuçlara ulaşılabilir:

-) Dik vektörlerin skaler çarpımları sıfırdır.

-) İki vektör arasındaki açı, dar açı ise vektörlerin skaler çarpımı pozitiftir.

-) İki vektör arasındaki açı, geniş açı ise vektörlerin skaler çarpımı negatiftir.

-) Paralel ve aynı yönlü iki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin uzunluğunun çarpımıdır.

-) Paralel ve zıt yönlü iki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin uzunluğunun çarpımının negatifidir.

DİK İZDÜŞÜM

u vektörünün, aralarındaki açı α olan v vektörü üzerine dik izdüşümü w vektörü olsun.

dik izdüşüm

Bu durumda dik izdüşüm vektörü,

dik izdüşüm vektörü

formülü ile bulunur.

Dik izdüşüm vektörünün uzunluğu,

dik izdüşüm vektörünün uzunluğu

ile tespit edilir.

Buradan, eğer α açısı; dar açı ise,

dik izdüşüm vektörünün uzunluğu

geniş açı ise,

dik izdüşüm vektörünün uzunluğu

bulunur.

 
Bu web sitesi ücretsiz olarak Bedava-Sitem.com ile oluşturulmuştur. Siz de kendi web sitenizi kurmak ister misiniz?
Ücretsiz kaydol