VEKTÖRLER

Başlangıç ve bitiş noktası olan doğru parçasına vektör denir.

Vektörler, geometrik olarak, bitiş noktasının ucuna bir ok koyularak belirtilirler.

Vektörde başlangıç noktasından bitiş noktasına doğru olan yörüngeye vektörün yönü denir.

Bir vektörün bulunduğu doğru parçasına vektörün doğrultusu denir.

Yukarıda başlangıç noktası A ve bitiş noktası B olan bir vektör gösterilmiştir. Bu vektörün doğrultusu kırmızı kesik çizgilerle belirtilmiştir.

Bir vektör isimlendirilirken önce başlangıç, sonra bitiş noktası yazılır ve bunların üzerlerine sağa doğru bir ok çizilir. Örneğin yukarıdaki vektör,

şeklinde isimlendirilir.

Vektörler, yukarıdaki örnekteki gibi, üzerinde sağa doğru ok olan tek bir harf ile de isimlendirilebilirler.

Bir vektörün uzunluğu veya vektörün normu, vektörün isminin iki tarafına '||' işaretleri koyularak gösterilir. Örneğin yukarıdaki vektörün uzunluğu,

ile gösterilir.

-) Yönü ve uzunluğu aynı olan vektörlere eş vektörler denir.

-) Doğrultusu ve uzunluğu aynı, yönleri farklı vektörlere ters vektörler denir.

-) Başlangıç ve bitiş noktası aynı olan vektöre sıfır vektörü denir. (Sıfır vektörü, sıfır sayısı değildir!)

-) Sıfır vektörünün, başlangıç ve bitiş noktası aynı olduğundan, uzunluğu sıfırdır.

-) Sıfır vektörü,

şeklinde gösterilir.

VEKTÖRLERDE TOPLAMA

PARALELKENAR YÖNTEMİ

İki vektörün başlangıç noktaları aynı yere getirilir. Bu iki vektörü iki kenarı gibi gören paralelkenar çizilir. İki vektörün başlangıç noktasından paralelkenarın köşegeni olacak biçimde çizilen vektör, bu iki vektörün toplamıdır.

Yukarıdaki şekilde u ve v vektörlerinin toplamı w vektörüdür.

Paralelkenar yöntemi aynı doğrultudaki vektörlere uygulanamaz.

UÇ UCA EKLEME YÖNTEMİ

Verilen iki vektörden birinci vektörün sonu ile ikinci vektörün başı aynı yere getirilir. Birinci vektörün başından ikinci vektörün sonuna çizilen vektör iki vektörün toplamıdır.

Yukarıdaki u ve v vektörleri uç uca eklenerek u ve v'nin toplamı olan w vektörü elde edilmiştir.

Vektörlerde toplama işlemi yapmaya yarayan bu iki yöntemi dinamik ve etkileşimli olarak incelemek için bu animasyona bakınız.

İkiden fazla vektör söz konusu olduğunda bu yönteme çokgen yöntemi de denir.

İKİ VEKTÖRÜN FARKI

u ve v gibi verilen iki vektörün u - v farkını bulmak için, v vektörünün ters vektörü ile u vektörü toplanır.

Bir vektörün tersi, o vektörün -1 sayısıyla çarpımıdır. Dolayısıyla,

eşitliği geçerlidir.

VEKTÖRÜN KATI

Bir vektörün, r gibi bir reel sayıyla çarpımı, o vektörün r katıdır.

VEKTÖRÜN SAYIYLA ÇARPIMI

Bir vektörün r gibi bir reel sayıyla çarpımı sonunda vektörün, doğrultusu değişmezken uzunluğu r katına çıkar. Vektörün yönü ise eğer; r pozitifse değişmez, r negatifse değişir.

Bir vektörün sıfır ile çarpımı sıfır vektörünü verir.

KOORDİNAT DÜZLEMİNDE VEKTÖRLER

Başlangıç noktası orjin, bitiş noktası (a,b) olan vektör, (a,b) veya <a,b> olarak gösterilir. Aşağıda böyle bir vektör gösterilmiştir.

Bu vektörün uzunluğu Pisagor bağıntısından,

olarak bulunur. a ve b sayılarına bileşen adı verilir.

Her vektörün başlangıç noktası orjinde olmak zorunda değildir. Başlangıç noktası orjin dışında olan u gibi bir vektörün, başlangıç noktası orjinde olan bir eş vektörü çizilebilir. Bu eş vektöre, u vektörünün, konum vektörü veya yer vektörü adı verilir.

Yukarıda kırmızı ile gösterilen vektör, u vektörünün konum vektörüdür.

-) Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan vektörler birbirlerine eşittir. (Eşit vektör ile eş vektör kavramları birbirlerinden farklı kavramlardır!)

-) Uzunluğu 1 olan vektöre birim vektör denir.

-) e₁ = (1,0) ve e₂ = (0,1) vektörlerine; taban birim vektörler, standart birim vektörler veya baz birim vektörler adı verilir.

-) Başlangıç noktası (x₀,y₀), bitiş noktası (x₁,y₁) olan vektörün uzunluğu, iki noktanın birbirine uzaklığı formülünden,

olarak bulunur.

-) Başlangıç noktası (x₀,y₀), bitiş noktası (x₁,y₁) olan vektörün konum vektörü (x₁-x₀ , y₁-y₀)'dır.

-) (x₀,y₀) ve (x₁,y₁) gibi verilen iki vektörün toplamı, (x₀+x₁ , y₀+y₁)'dir.

-) r reel sayısı ile (x,y) vektörünün çarpımı, r.(x,y) = (r.x,r.y)'dir.

-) u, v, w vektörleri ve x, y reel sayıları için,

ise, w vektörüne, u ve v vektörlerinin, lineer kombinasyonu veya lineer birleşimi denir.

-) Her vektör, taban birim vektörlerinin lineer kombinasyonu biçiminde yazılabilir. (a,b) vektörü,

şeklinde yazılabilir.

-) u ve v, iki vektör olsunlar.

eşitliğini sağlayan, en az biri sıfırdan farklı a ve b reel sayıları varsa, u ve v vektörlerine lineer bağımlı veya doğrusal bağımlı vektörler denir. Aksi halde u ve v vektörlerine lineer bağımsız veya doğrusal bağımsız vektörler denir. Bu tanım ikiden fazla vektör için de geçerlidir.

-) Sıfır vektörü her vektörle lineer bağımlıdır.

-) Herhangi üç vektör birbirleriye lineer bağımlıdır.

-) u ve v vektörleri lineer bağımsız olsunlar. Bu durumda her vektör u ve v'nin bir lineer kombinasyonu biçiminde yazılabilir. Bu sebeple u ve v vektörlerine, bütün vektörler kümesinin tabanı veya bazı denir.

SKALER ÇARPIM

u = (x₀,y₀) ve v = (x₁,y₁) vektörlerinin skaler çarpımı, iç çarpımı veya noktasal çarpımı bir reel sayıdır ve aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

Skaler çarpım; iki vektörün, uzunlukları ve aralarındaki açının kosinüsünün çarpımıdır. Yani u ve v vektörleri arasındaki açı α olmak üzere,

eşitliği gerçeklenir. Buradan aşağıdaki sonuçlara ulaşılabilir:

-) Dik vektörlerin skaler çarpımları sıfırdır.

-) İki vektör arasındaki açı, dar açı ise vektörlerin skaler çarpımı pozitiftir.

-) İki vektör arasındaki açı, geniş açı ise vektörlerin skaler çarpımı negatiftir.

-) Paralel ve aynı yönlü iki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin uzunluğunun çarpımıdır.

-) Paralel ve zıt yönlü iki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin uzunluğunun çarpımının negatifidir.

DİK İZDÜŞÜM

u vektörünün, aralarındaki açı α olan v vektörü üzerine dik izdüşümü w vektörü olsun.

Bu durumda dik izdüşüm vektörü,

formülü ile bulunur.

Dik izdüşüm vektörünün uzunluğu,

ile tespit edilir.

Buradan, eğer α açısı; dar açı ise,

geniş açı ise,

bulunur.